Calcolo Esempi

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.5

Riordina i termini.

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4

Dividi $0$ per $x^{2} + 1$ .

$0$