Calcolo Esempi

$\cos (\sqrt{x^{2} + 1})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 12.3

$- 2$ e $\frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 12.4

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.5

Scomponi $2$ da $- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$- \frac{x \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$