Calcolo Esempi

$D x (\sqrt{5 x y})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x y}$ come ${(5 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [D x {(5 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x y$ .

$\frac{d}{d x} [D x {(5 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 (x y)$ .

$\frac{d}{d x} [D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.3

Poiché $D \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})$ rispetto a $x$ è $D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

$y$ e $\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Moltiplica $\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 14

Moltiplica ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.2

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.3

Applica la proprietà distributiva.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.1.1

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.1.2

Moltiplica $y^{- \frac{1}{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.1.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.2.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.2.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.3.2.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.4

$D$ e $\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.5

$5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} (D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15.4.6

Riordina $D$ e $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} \cdot D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 15.4.7

Per scrivere $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 15.4.8

$5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 15.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 15.4.10

Sposta $2$ alla sinistra di $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 15.4.11

Somma $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ e $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 15.5

Riordina i termini.

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$

Passaggio 15.6

Riordina i fattori in $\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$ .

$\frac{3 D \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$