Calcolo Esempi

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (\frac{1}{x})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Passaggio 2.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Passaggio 2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Passaggio 2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Passaggio 2.9

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{3}{x}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $\frac{3}{x}$ da $0$ .

$- \frac{3}{x}$