Calcolo Esempi

$x^{4} - 8 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{4} - 8 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi.

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Passaggio 3.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 16 \cdot - 3$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 16 \cdot - 3$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 16 \cdot - 3$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 48$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 108$ e $48$ .

$f' (- 3) = - 60$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 60$ .

$- 60$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $- 60$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 4$ e $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 2, 0)$ .

Crescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $16$ da $4$ .

$f' (1) = - 12$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 16 \cdot 3$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 16 \cdot 3$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f' (3) = 108 - 16 \cdot 3$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$f' (3) = 108 - 48$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $48$ da $108$ .

$f' (3) = 60$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $60$ .

$60$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $60$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Passaggio 11