Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x - 9)}^{2}$ come $(x - 9) (x - 9)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

Passaggio 2

Espandi $(x - 9) (x - 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Passaggio 3.1.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- 9$ per $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $9 x$ da $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 18 x + 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.3

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.6

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.7

Somma $2 x - 18$ e $0$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

Passaggio 5.9

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.3

Sposta $- 18$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.5

Moltiplica $- 18$ per $3$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Passaggio 6.4.7

Moltiplica $3$ per $81$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Passaggio 6.4.8

Somma $2 x^{4}$ e $3 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Passaggio 6.4.9

Sottrai $54 x^{3}$ da $- 18 x^{3}$ .

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$