Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (x) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ .

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Passaggio 5.2.4

$x$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Passaggio 5.2.5

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.2

Frazioni separate.

$\frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{x}{1} \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.4

Dividi $x$ per $1$ .

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.5

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$