Calcolo Esempi

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (x) e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4 \sin (x) e^{x}$ da $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sposta $\sin (x)$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $4 e^{x} \sin (x)$ da $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $4 e^{x} \cos (x)$ da $4 \cos (x) e^{x}$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Sposta $\cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

Passaggio 4.3.3.2

Sottrai $4 e^{x} \cos (x)$ da $4 e^{x} \cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

Passaggio 4.3.4

Somma $- 8 e^{x} \sin (x)$ e $0$ .

$- 8 e^{x} \sin (x)$