Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 2.3

$4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.3

$6$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.4

$\frac{6}{x^{6}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{6}$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $x^{5}$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x^{5}$ da $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5.2

Somma $4$ e $6$ .

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$