Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{4 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$16 x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) x^{- 5}$

Passaggio 3.9

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4} x^{- 5}$

Passaggio 3.10

$\frac{4}{4}$ e $x^{- 5}$ .

$16 x^{3} + \frac{4 x^{- 5}}{4}$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Passaggio 3.12

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.12.1

Elimina il fattore comune.

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Passaggio 3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$16 x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$