Calcolo Esempi

$f (x) = 66 x + \ln (3 x^{4} + 13)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $66 x + \ln (3 x^{4} + 13)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [66 x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$ .

$\frac{d}{d x} [66 x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [66 x]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $66$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $66 x$ rispetto a $x$ è $66 \frac{d}{d x} [x]$ .

$66 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$66 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $66$ per $1$ .

$66 + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{4} + 13$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{4} + 13$ .

$66 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$66 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{4} + 13$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 13$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [13])$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [13])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [13])$

Passaggio 3.5

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 (4 x^{3}) + 0)$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (12 x^{3} + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (12 x^{3})$

Passaggio 3.8

$12$ e $\frac{1}{3 x^{4} + 13}$ .

$66 + \frac{12}{3 x^{4} + 13} x^{3}$

Passaggio 3.9

$\frac{12}{3 x^{4} + 13}$ e $x^{3}$ .

$66 + \frac{12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $66$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x^{4} + 13}{3 x^{4} + 13}$ .

$\frac{66 (3 x^{4} + 13)}{3 x^{4} + 13} + \frac{12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Passaggio 4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{66 (3 x^{4} + 13) + 12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{12 x^{3} + 66 (3 x^{4} + 13)}{3 x^{4} + 13}$