Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x \sqrt[3]{x - 8}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 8}$ come ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 8$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 8$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 8$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (x (\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Somma $1$ e $0$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 14

Moltiplica ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 15

Per scrivere ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 16

${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18

Moltiplica ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.1

Sposta ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4

Somma $2$ e $1$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5

Dividi $3$ per $3$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 19.1

Semplifica ${(x - 8)}^{1} \cdot 3$ .

$5 \frac{x + (x - 8) \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x - 8$ .

$5 \frac{x + 3 \cdot (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 20

$5$ e $\frac{x + 3 (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5 (x + 3 (x - 8))}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21

Semplifica.

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Passaggio 21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (x + 3 x + 3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x + 5 (3 x) + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 21.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 21.3.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{5 x + 15 x + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3.1.2

Moltiplica $5 (3 \cdot - 8)$ .

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Passaggio 21.3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$\frac{5 x + 15 x + 5 \cdot - 24}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3.1.2.2

Moltiplica $5$ per $- 24$ .

$\frac{5 x + 15 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3.2

Somma $5 x$ e $15 x$ .

$\frac{20 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.4

Scomponi $20$ da $20 x - 120$ .

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Passaggio 21.4.1

Scomponi $20$ da $20 x$ .

$\frac{20 (x) - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.4.2

Scomponi $20$ da $- 120$ .

$\frac{20 x + 20 \cdot - 6}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.4.3

Scomponi $20$ da $20 x + 20 \cdot - 6$ .

$\frac{20 (x - 6)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$