Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{24 x + 10}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 24 x + 10$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [24 x + 10] - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $24$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + 0) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $24$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 24 - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $24$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$\frac{24 \cdot (x^{2} + 1) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 + (- 2 (24 x) - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $24$ per $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 (x \cdot x)) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x^{2}) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $24$ per $- 2$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $48 x^{2}$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x^{2} + 24 - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{- 24 x^{2} - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $4$ da $- 24 x^{2} - 20 x + 24$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 24 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.2

Scomponi $4$ da $- 20 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 6 \cdot 6 = - 36$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 3.6.2.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 (x) + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Riscrivi $- 5$ come $4$ più $- 9$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} + (4 - 9) x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + 4 x - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{4 ((- 6 x^{2} + 4 x) - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{4 (2 x (- 3 x + 2) + 3 (- 3 x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 x + 2$ .

$\frac{4 ((- 3 x + 2) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{4 (- 3 x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$\frac{4 (- (3 x) + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Riscrivi $- (3 x - 2)$ come $- 1 (3 x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riordina i fattori in $- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 (3 x - 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$