Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 \ln (x)}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 4.4.2

$2$ e $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2 (- \ln (x))$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$