Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{3 x - 1}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $2 x + 1$ per $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $(A) (2 x + 5)$ per $1$ .

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6.4

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Dividi $(B) (3 x - 1)$ per $1$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

Passaggio 1.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.6.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.6.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

Passaggio 1.1.6.9

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

Passaggio 1.1.7

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta $B$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $5 A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = 2 A + 3 B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $2 = 2 A + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A + 3 B = 2$ .

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $3 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 2 - 3 B$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 2 - 3 B$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.3.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.3.1.1

Dividi $2$ per $2$ .

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - \frac{3 B}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 5 A - 1 B$ con $1 - \frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $5 (- \frac{3 B}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.2

$- 5$ e $\frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.5

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Per scrivere $- B$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.3.1

$- B$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.1

Scomponi $B$ da $- 15 B - B \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.1.1

Scomponi $B$ da $- 15 B$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.1.2

Scomponi $B$ da $- B \cdot 2$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.1.3

Scomponi $B$ da $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.1.3

Sottrai $2$ da $- 15$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.2

Sposta $- 17$ alla sinistra di $B$ .

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.2.2.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ .

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- \frac{2}{17}$ .

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1.1

Semplifica $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{17}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.1.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{17 B}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1.1.2.1

Scomponi $17$ da $- 17 B$ .

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.1.1.3.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1

Moltiplica $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.2.1.2

$4$ e $\frac{2}{17}$ .

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.3.4.2.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{8}{17}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ con $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.1

$3$ e $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2.3

Sottrai $12$ da $17$ .

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{5}{17}$ per $\frac{1}{3 x - 1}$ .

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{8}{17}$ per $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5}{17}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{17}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 3 x - 1$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 3 x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{5}{17}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3$ per $17$ .

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{8}{17}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{8}{17}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 2 x + 5$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 2 x + 5$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 10.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 10.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 10.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 10.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 10.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 11.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{8}{17}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $17$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Scomponi $2$ da $34$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x - 1$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 5$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$