Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{550 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 12}$ come ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $550$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 12$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 12$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]}{x^{2} + 12}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

Passaggio 14

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 12}$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 12}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

Passaggio 15.3

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

Passaggio 15.4

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 18

Somma $1$ e $2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 20

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 20.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 20.2

Elimina il fattore comune.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 20.3

Riscrivi l'espressione.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 22

Combina $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x$ e $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ utilizzando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sposta ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 22.2

Per scrivere $2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 23

Moltiplica ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sposta ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 23.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 23.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 23.4

Somma $1$ e $1$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 23.5

Dividi $2$ per $2$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 24

Semplifica $2 x {(x^{2} + 12)}^{1}$ .

$550 \frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Passaggio 25

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$ come un prodotto.

$550 (\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 12})$

Passaggio 26

Moltiplica $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 12}$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

Passaggio 27

Moltiplica ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 12$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Moltiplica ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1.1

Eleva $x^{2} + 12$ alla potenza di $1$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{1}}$

Passaggio 27.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 27.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 27.4

Somma $1$ e $2$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 28

$550$ e $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{550 (2 x (x^{2} + 12) - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 12 - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.3.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{550 (2 (x^{2} x)) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{550 (2 (x^{2} x^{1})) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{550 (2 x^{2 + 1}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{550 (2 x^{3}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.2

Moltiplica $2$ per $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.3

Moltiplica $12$ per $2$ .

$\frac{1100 x^{3} + 550 (24 x) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.4

Moltiplica $24$ per $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x - 550 x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.3.2

Sottrai $550 x^{3}$ da $1100 x^{3}$ .

$\frac{550 x^{3} + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.4

Scomponi $550 x$ da $550 x^{3} + 13200 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.4.1

Scomponi $550 x$ da $550 x^{3}$ .

$\frac{550 x (x^{2}) + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.4.2

Scomponi $550 x$ da $13200 x$ .

$\frac{550 x (x^{2}) + 550 x (24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 29.4.3

Scomponi $550 x$ da $550 x (x^{2}) + 550 x (24)$ .

$\frac{550 x (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$