Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{3 t^{2} + t}}$

Passaggio 1

Scomponi $t$ da $3 t^{2} + t$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $t$ da $3 t^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t}}]$

Passaggio 1.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t^{1}}}]$

Passaggio 1.3

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t \cdot 1}}]$

Passaggio 1.4

Scomponi $t$ da $t (3 t) + t \cdot 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}]$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Passaggio 3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)} {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt[3]{t (3 t + 1)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{1} {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{1 + 2}}]$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{3}}]$

Passaggio 3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{3}$ come $t (3 t + 1)$ .

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Passaggio 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t (3 t + 1)}$ come ${(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{({(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}]$

Passaggio 3.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}]$

Passaggio 3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{3}{3}}}]$

Passaggio 3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{3}{3}}}]$

Passaggio 3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{1}}]$

Passaggio 3.5.5

Semplifica.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{t (3 t + 1)}]$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(t (3 t + 1))}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \sqrt[3]{{(t (3 t + 1))}^{2}}}{t (3 t + 1)}]$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $t (3 t + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}]$

Passaggio 5

Poiché $\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$