Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11

$4$ e $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 \cos (x)) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 12.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 \cos (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.3

Scomponi $4$ da $4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.4

Scomponi $4$ da $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.5

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.3.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.4

Riordina i termini.

$\frac{4 + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.5

Scomponi $4$ da $4 + 12 \cos (x)$ .

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Passaggio 12.5.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (1) + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.5.2

Scomponi $4$ da $12 \cos (x)$ .

$\frac{4 (1) + 4 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 12.5.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (3 \cos (x))$ .

$\frac{4 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$