Calcolo Esempi

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$2$ e $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

Passaggio 3.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.5.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

Passaggio 3.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4} + 1$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

Passaggio 3.5.3

$4$ e $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Passaggio 3.5.5

$x^{3}$ e $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Passaggio 3.5.6

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{4} + 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$