Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{9 + x}{1 - 9 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 9 + x$ e $g (x) = 1 - 9 x$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [9 + x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - 9 x) \cdot 1 - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $1 - 9 x$ per $1$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [- 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (- 9 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \cdot 1}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x)}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Combina i termini opposti in $1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Somma $- 9 x$ e $9 x$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9 + 0}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Somma $1 + 9 \cdot 9$ e $0$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{1 + 81}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $81$ .

$\frac{82}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{82}{{(- 9 x + 1)}^{2}}$