Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\cot (x)}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.1.2

Riordina i fattori in $- e^{x} \csc^{2} (x) - \cot (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \csc^{2} (x) - e^{x} \cot (x)$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \csc^{2} (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) - e^{x} \cot (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} \cot (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (- \cot (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x}}$

Passaggio 5.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))}{1}$

Passaggio 5.3.2.4

Dividi $e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$ per $1$ .

$e^{- x} (- \csc^{2} (x) - \cot (x))$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} (- \csc^{2} (x)) + e^{- x} (- \cot (x))$

Passaggio 5.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- e^{- x} \csc^{2} (x) + e^{- x} (- \cot (x))$

Passaggio 5.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- e^{- x} \csc^{2} (x) - e^{- x} \cot (x)$