Calcolo Esempi

$f (x) = \log_{6} (\sqrt{x^{2} + 1})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{6} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{6} (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log_{6} (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 10

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6))} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 13.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 14.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 16

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 18

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x + 0)$

Passaggio 19

Semplifica i termini.

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Passaggio 19.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x)$

Passaggio 19.2

$2$ e $\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} x$

Passaggio 19.3

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$

Passaggio 19.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 19.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$

Passaggio 19.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{(x^{2} + 1) \ln (6)}$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x}{x^{2} \ln (6) + 1 \ln (6)}$

Passaggio 20.2

Moltiplica $\ln (6)$ per $1$ .

$\frac{x}{x^{2} \ln (6) + \ln (6)}$