Calcolo Esempi

$\int_{0}^{18} \sqrt{2 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 18$

Passaggio 1.5

Moltiplica $2$ per $18$ .

$u_{upper} = 36$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 36$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{36} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{36} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{36}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $36$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 216 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{432}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $432$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $3$ da $432$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{144}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $144$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.9

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 6.2.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.13

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0)$

Passaggio 6.2.14

Somma $144$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 144$

Passaggio 6.2.15

$\frac{1}{2}$ e $144$ .

$\frac{144}{2}$

Passaggio 6.2.16

Elimina il fattore comune di $144$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.1

Scomponi $2$ da $144$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2}$

Passaggio 6.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Passaggio 6.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{72}{1}$

Passaggio 6.2.16.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$72$

Passaggio 7