Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x + \frac{c}{x}$ per $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 4

Combina.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 14

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 15

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{c}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 17

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{c}{x}$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 18

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 19

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 20.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 20.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 20.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{c}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.1.6

Moltiplica $c$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

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Passaggio 20.3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.2.2

Somma $c$ e $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.3.3

Somma $c$ e $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 20.4.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.4.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

Passaggio 20.4.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{2} + c}{x}$ .

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 20.5

$x$ e $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 20.6

Riduci l'espressione $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 20.6.1

Scomponi $x$ da $x {(x^{2} + c)}^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

Passaggio 20.6.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

Passaggio 20.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

Passaggio 20.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

Passaggio 20.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Passaggio 20.8

Moltiplica $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

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Passaggio 20.8.1

$2$ e $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Passaggio 20.8.2

$c$ e $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Passaggio 20.9

Sposta $2$ alla sinistra di $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$