Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x y}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x y}$ come ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 8

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

$y$ e $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$\frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 12.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.2.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.2.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 12.2.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$