Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 4, - 1$

Passaggio 7

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.3

Sottrai $20$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 10.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.3

Sottrai $20$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 10.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Passaggio 10.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + i$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 11.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.3

Sottrai $20$ da $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Passaggio 11.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - i$

Passaggio 12

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + i, 2 - i$

Passaggio 13

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Passaggio 14

Consolida le soluzioni.

$x = 4, - 1$

Passaggio 15

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{648}$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di $- 0.8$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di $0.82352941$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 16.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < 4$

Passaggio 18

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 1, 4)$

Passaggio 19