Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ .

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $9 x^{2} - 10 x + 5$ e $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $9$ per $36$ .

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- 10$ per $6$ .

$324 - 60 + 5$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $60$ da $324$ .

$264 + 5$

Passaggio 3.2.2

Somma $264$ e $5$ .

$269$