Calcolo Esempi

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ come un'equazione.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Passaggio 3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{2 y} = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{2 y} = x - 1$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $e^{2 y}$ per $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 3.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 3.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 3.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Combina i termini opposti in $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 5.2.6.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.6.1.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.6.1.3

Dividi $0$ per $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.6.1.4

Somma $e^{2 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.7

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.8

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Passaggio 5.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Passaggio 5.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$