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Calcolo Esempi
f(x)=3e2x+1f(x)=3e2x+1
Passaggio 1
Scrivi f(x)=3e2x+1f(x)=3e2x+1 come un'equazione.
y=3e2x+1y=3e2x+1
Passaggio 2
Scambia le variabili.
x=3e2y+1x=3e2y+1
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Riscrivi l'equazione come 3e2y+1=x3e2y+1=x.
3e2y+1=x3e2y+1=x
Passaggio 3.2
Sottrai 11 da entrambi i lati dell'equazione.
3e2y=x-13e2y=x−1
Passaggio 3.3
Dividi per 33 ciascun termine in 3e2y=x-13e2y=x−1 e semplifica.
Passaggio 3.3.1
Dividi per 33 ciascun termine in 3e2y=x-13e2y=x−1.
3e2y3=x3+-133e2y3=x3+−13
Passaggio 3.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 3.3.2.1
Elimina il fattore comune di 33.
Passaggio 3.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
3e2y3=x3+-133e2y3=x3+−13
Passaggio 3.3.2.1.2
Dividi e2ye2y per 11.
e2y=x3+-13e2y=x3+−13
e2y=x3+-13e2y=x3+−13
e2y=x3+-13e2y=x3+−13
Passaggio 3.3.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 3.3.3.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
e2y=x3-13e2y=x3−13
e2y=x3-13e2y=x3−13
e2y=x3-13e2y=x3−13
Passaggio 3.4
Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.
ln(e2y)=ln(x3-13)ln(e2y)=ln(x3−13)
Passaggio 3.5
Espandi il lato sinistro.
Passaggio 3.5.1
Espandi ln(e2y)ln(e2y) spostando 2y2y fuori dal logaritmo.
2yln(e)=ln(x3-13)2yln(e)=ln(x3−13)
Passaggio 3.5.2
Il logaritmo naturale di ee è 11.
2y⋅1=ln(x3-13)2y⋅1=ln(x3−13)
Passaggio 3.5.3
Moltiplica 22 per 11.
2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)
2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)
Passaggio 3.6
Dividi per 22 ciascun termine in 2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13) e semplifica.
Passaggio 3.6.1
Dividi per 22 ciascun termine in 2y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13).
2y2=ln(x3-13)22y2=ln(x3−13)2
Passaggio 3.6.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 3.6.2.1
Elimina il fattore comune di 22.
Passaggio 3.6.2.1.1
Elimina il fattore comune.
2y2=ln(x3-13)22y2=ln(x3−13)2
Passaggio 3.6.2.1.2
Dividi yy per 11.
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
y=ln(x3-13)2y=ln(x3−13)2
Passaggio 4
Replace yy with f-1(x)f−1(x) to show the final answer.
f-1(x)=ln(x3-13)2f−1(x)=ln(x3−13)2
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Per verificare l'inverso, controlla se f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x e f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x.
Passaggio 5.2
Calcola f-1(f(x))f−1(f(x)).
Passaggio 5.2.1
Imposta la funzione composita per il risultato.
f-1(f(x))f−1(f(x))
Passaggio 5.2.2
Calcola f-1(3e2x+1)f−1(3e2x+1) sostituendo il valore di ff in f-1f−1.
f-1(3e2x+1)=ln(3e2x+13-13)2f−1(3e2x+1)=ln(3e2x+13−13)2
Passaggio 5.2.3
Riscrivi ln(3e2x+13-13)2ln(3e2x+13−13)2 come 12ln(13(3e2x+1)-13)12ln(13(3e2x+1)−13).
f-1(3e2x+1)=12⋅ln(13⋅(3e2x+1)-13)f−1(3e2x+1)=12⋅ln(13⋅(3e2x+1)−13)
Passaggio 5.2.4
Semplifica 12ln(13(3e2x+1)-13)12ln(13(3e2x+1)−13) spostando 1212 all'interno del logaritmo.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x+1)-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x+1)−13)12)
Passaggio 5.2.5
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 5.2.5.1
Applica la proprietà distributiva.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x)+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x)+13⋅1−13)12)
Passaggio 5.2.5.2
Elimina il fattore comune di 33.
Passaggio 5.2.5.2.1
Scomponi 33 da 3e2x3e2x.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3(e2x))+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((13⋅(3(e2x))+13⋅1−13)12)
Passaggio 5.2.5.2.2
Elimina il fattore comune.
f-1(3e2x+1)=ln((13⋅(3e2x)+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln⎛⎜⎝(13⋅(3e2x)+13⋅1−13)12⎞⎟⎠
Passaggio 5.2.5.2.3
Riscrivi l'espressione.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1-13)12)f−1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1−13)12)
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13⋅1-13)12)
Passaggio 5.2.5.3
Moltiplica 13 per 1.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13-13)12)
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+13-13)12)
Passaggio 5.2.6
Semplifica aggiungendo i termini.
Passaggio 5.2.6.1
Combina i termini opposti in e2x+13-13.
Passaggio 5.2.6.1.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+1-13)12)
Passaggio 5.2.6.1.2
Sottrai 1 da 1.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+03)12)
Passaggio 5.2.6.1.3
Dividi 0 per 3.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x+0)12)
Passaggio 5.2.6.1.4
Somma e2x e 0.
f-1(3e2x+1)=ln((e2x)12)
f-1(3e2x+1)=ln((e2x)12)
Passaggio 5.2.6.2
Moltiplica gli esponenti in (e2x)12.
Passaggio 5.2.6.2.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, (am)n=amn.
f-1(3e2x+1)=ln(e2x(12))
Passaggio 5.2.6.2.2
Elimina il fattore comune di 2.
Passaggio 5.2.6.2.2.1
Scomponi 2 da 2x.
f-1(3e2x+1)=ln(e2(x)(12))
Passaggio 5.2.6.2.2.2
Elimina il fattore comune.
f-1(3e2x+1)=ln(e2x(12))
Passaggio 5.2.6.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
f-1(3e2x+1)=ln(ex)
Passaggio 5.2.7
Utilizza le regole del logaritmo per togliere x dall'esponente.
f-1(3e2x+1)=xln(e)
Passaggio 5.2.8
Il logaritmo naturale di e è 1.
f-1(3e2x+1)=x⋅1
Passaggio 5.2.9
Moltiplica x per 1.
f-1(3e2x+1)=x
f-1(3e2x+1)=x
Passaggio 5.3
Calcola f(f-1(x)).
Passaggio 5.3.1
Imposta la funzione composita per il risultato.
f(f-1(x))
Passaggio 5.3.2
Calcola f(ln(x3-13)2) sostituendo il valore di f-1 in f.
f(ln(x3-13)2)=3e2(ln(x3-13)2)+1
Passaggio 5.3.3
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 5.3.3.1
Elimina il fattore comune di 2.
Passaggio 5.3.3.1.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
f(ln(x3-13)2)=3e2(ln(x-13)2)+1
Passaggio 5.3.3.1.2
Elimina il fattore comune.
f(ln(x3-13)2)=3e2(ln(x-13)2)+1
Passaggio 5.3.3.1.3
Riscrivi l'espressione.
f(ln(x3-13)2)=3eln(x-13)+1
f(ln(x3-13)2)=3eln(x-13)+1
Passaggio 5.3.3.2
L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.
f(ln(x3-13)2)=3(x-13)+1
Passaggio 5.3.3.3
Elimina il fattore comune di 3.
Passaggio 5.3.3.3.1
Elimina il fattore comune.
f(ln(x3-13)2)=3(x-13)+1
Passaggio 5.3.3.3.2
Riscrivi l'espressione.
f(ln(x3-13)2)=x-1+1
f(ln(x3-13)2)=x-1+1
f(ln(x3-13)2)=x-1+1
Passaggio 5.3.4
Combina i termini opposti in x-1+1.
Passaggio 5.3.4.1
Somma -1 e 1.
f(ln(x3-13)2)=x+0
Passaggio 5.3.4.2
Somma x e 0.
f(ln(x3-13)2)=x
f(ln(x3-13)2)=x
f(ln(x3-13)2)=x
Passaggio 5.4
Poiché f-1(f(x))=x e f(f-1(x))=x, allora f-1(x)=ln(x3-13)2 è l'inverso di f(x)=3e2x+1.
f-1(x)=ln(x3-13)2
f-1(x)=ln(x3-13)2