Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ come un'equazione.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 - e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (1 - e^{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $x e^{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} + x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $e^{y}$ da $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $1 + x$ ciascun termine in $e^{y} (1 + x) = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $1 + x$ ciascun termine in $e^{y} (1 + x) = x - 1$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Passaggio 3.4.5

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.6

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.6.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.6.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Passaggio 5.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ per $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Passaggio 5.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Passaggio 5.2.6

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune di $1 - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Passaggio 5.2.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Passaggio 5.2.6.2

Elimina il fattore comune di $1 - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7.3

Moltiplica $- e^{x} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7.5

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.7.6

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Moltiplica $1 - e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Passaggio 5.2.8.2

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Passaggio 5.2.8.3

Somma $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Passaggio 5.2.8.4

Somma $2$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Passaggio 5.2.9.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.10

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.11

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.12

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.4

Riordina i termini.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.5

Riscrivi $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Somma $x$ e $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Somma $2 x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Passaggio 5.3.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riordina i termini.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.4

Somma $0$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$