Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (e^{y} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} - x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $e^{y}$ da $- x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ .

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $e^{y} (1 - x) = x + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $e^{y} (1 - x) = x + 1$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Passaggio 3.4.5

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Passaggio 3.4.6

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Passaggio 3.4.6.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Passaggio 3.4.6.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ per $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Passaggio 5.2.3.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.5

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune di $e^{x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $e^{x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ nel numeratore.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Passaggio 5.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Moltiplica $e^{x} + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Passaggio 5.2.6.2

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Passaggio 5.2.6.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Passaggio 5.2.6.4

Somma $2 e^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $e^{x} + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Passaggio 5.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Passaggio 5.2.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Passaggio 5.2.7.4

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Passaggio 5.2.7.5

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Passaggio 5.2.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Passaggio 5.2.8.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.9

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.10

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.3

$- 1$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.5

Riordina i termini.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Somma $x$ e $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riordina i termini.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.3

Somma $1$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $\frac{x}{- x + 1}$ per $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $- x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Passaggio 5.3.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$