Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ come un'equazione.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + 2 e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (1 + 2 e^{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $2 x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $e^{y}$ da $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $1 - 2 x$ ciascun termine in $e^{y} (1 - 2 x) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $1 - 2 x$ ciascun termine in $e^{y} (1 - 2 x) = x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 3.4.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Passaggio 3.4.5

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.5.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Passaggio 3.4.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.4.1

$- 2$ e $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Passaggio 5.2.4.5

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Passaggio 5.2.4.6

Riscrivi $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.2.4.6.1

Sottrai $2 e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Passaggio 5.2.4.6.2

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $2 e^{x} + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ per $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $2 e^{x} + 1$ e $1 + 2 e^{x}$ .

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Passaggio 5.2.8.1

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Passaggio 5.2.8.3

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.9

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.10

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Passaggio 5.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Passaggio 5.3.4.2

$2$ e $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.3.4.5.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$