Calcolo Esempi

$f (x) = e^{- 8 x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{- 8 x}$ come un'equazione.

$y = e^{- 8 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{- 8 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{- 8 y} = x$ .

$e^{- 8 y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{- 8 y})$ spostando $- 8 y$ fuori dal logaritmo.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8 y = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 y = \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 y = \ln (x)$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ è l'inverso di $f (x) = e^{- 8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

Passaggio 5.2.3

Espandi $\ln (e^{- 8 x})$ spostando $- 8 x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Scomponi $8$ da $- 8 x \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

Passaggio 5.2.4.2.4

Dividi $- x \ln (e)$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

Passaggio 5.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (x)}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ è l'inverso di $f (x) = e^{- 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$