Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{8 - 4 y} = x$ .

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 - 4 y}$ come ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$8 - 4 y = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = x^{2} - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = x^{2} - 8$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Dividi $- 8$ per $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $8 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Scomponi $4$ da $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.4

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ come $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - x}$ come ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.6.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.9

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.10

Scomponi $4$ da $8 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.10.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.10.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.1.10.3

Scomponi $4$ da $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $2 - x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Passaggio 5.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Passaggio 5.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Passaggio 5.2.3.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $- 2 + x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $4$ da $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $4$ da $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Passaggio 5.3.5.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Passaggio 5.3.5.3

Somma $\frac{x^{2}}{4}$ e $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Passaggio 5.3.6

$4$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Riduci l'espressione $\frac{4 x^{2}}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Passaggio 5.3.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Passaggio 5.3.7.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$