Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ come un'equazione.

$y = 2 x^{2} + 3 x + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 y^{2} + 3 y + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 y^{2} + 3 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} + 3 y + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} + 3 y + 1 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 3$ e $c = 1 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.1.6

Sottrai $8$ da $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.1.6

Sottrai $8$ da $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.6.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{1 + 8 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

Passaggio 3.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})$ .

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

Passaggio 3.6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.6

Sottrai $8$ da $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Passaggio 3.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 - \sqrt{1 + 8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Riordina $1$ e $8 x$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Passaggio 3.7.4.2

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Passaggio 3.7.4.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{8 x + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{8 x + 1})}{4}$

Passaggio 3.7.4.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (\sqrt{8 x + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

Passaggio 3.7.4.5

Riscrivi $- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})$ come $- (3 + \sqrt{8 x + 1})$ .

$y = \frac{- (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

Passaggio 3.7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 + 8 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 + 8 x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$8 x \geq - 1$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x \geq - 1$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{1}{8}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ è l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ è il dominio di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Passaggio 6