Calcolo Esempi

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ come un'equazione.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ per $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ spostando $\frac{y}{3} + 1$ fuori dal logaritmo.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{y}{3} + 1$ per $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Passaggio 3.7

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Passaggio 3.7.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Passaggio 3.7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Passaggio 5.2.3.1.2

Dividi $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Passaggio 5.2.3.2

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $\frac{1}{3} x + 1$ dall'esponente.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Passaggio 5.2.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $\frac{x}{3} + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Passaggio 5.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Passaggio 5.2.3.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Passaggio 5.2.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Passaggio 5.2.3.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Semplifica $3 \ln (\frac{x}{3})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2

Semplifica.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.3.1

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.3.5.3.4

Calcola l'esponente.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\ln (\frac{x}{3})$ e $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$