Calcolo Esempi

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{2 x} + 1$ come un'equazione.

$y = e^{2 x} + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{2 y} + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{2 y} + 1 = x$ .

$e^{2 y} + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{2 y} = x - 1$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x - 1)$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (x - 1)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $e^{2 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Passaggio 5.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.6

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Passaggio 5.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ è l'inverso di $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$