Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ .

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

Passaggio 3.2

Semplifica $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per scrivere $- 20$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

Passaggio 3.2.2

$- 20$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 20$ per $3$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $60$ da $1$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

Passaggio 3.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $3$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{59}{3}$ nel numeratore.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 59$ .

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

Passaggio 3.4.4

Sposta $- 36 y$ .

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

Passaggio 3.5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 6$ , $b = - 36$ e $c = - 3 x - 59$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 24$ per $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $1296$ e $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $24$ da $72 x + 2712$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $24$ da $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $24$ da $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $24$ da $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $24 (3 x + 113)$ come $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $- 24$ per $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.6

Somma $1296$ e $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.7

Scomponi $24$ da $72 x + 2712$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.7.1

Scomponi $24$ da $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.7.2

Scomponi $24$ da $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.7.3

Scomponi $24$ da $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.8

Riscrivi $24 (3 x + 113)$ come $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.5

Moltiplica $- 24$ per $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.6

Somma $1296$ e $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.7

Scomponi $24$ da $72 x + 2712$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.7.1

Scomponi $24$ da $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.7.2

Scomponi $24$ da $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.7.3

Scomponi $24$ da $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.8

Riscrivi $24 (3 x + 113)$ come $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 3.9.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 3.10

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ e $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (3 x + 113) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (3 x + 113) \geq 0$ .

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $3 x + 113$ per $1$ .

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$3 x + 113 \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $113$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 x \geq - 113$

Passaggio 5.3.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \geq - 113$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \geq - 113$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Passaggio 5.3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 113}{3}$

Passaggio 5.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{113}{3}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ è il dominio di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Passaggio 6