Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{2} - 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - x^{2} - 5$ come un'equazione.

$y = - x^{2} - 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - y^{2} - 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- y^{2} - 5 = x$ .

$- y^{2} - 5 = x$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = x + 5$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = x + 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = x + 5$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x + \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x$ come $- x$ .

$y^{2} = - x + \frac{5}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Dividi $5$ per $- 1$ .

$y^{2} = - x - 5$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- x - 5}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- x - 5}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- x - 5}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- x - 5}$

$y = - \sqrt{- x - 5}$

$y = \sqrt{- x - 5}$

$y = - \sqrt{- x - 5}$

$y = \sqrt{- x - 5}$

$y = - \sqrt{- x - 5}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$ è l'inverso di $f (x) = - x^{2} - 5$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = - x^{2} - 5$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = - x^{2} - 5$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\sqrt{- x - 5}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x - 5}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x - 5 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq 5$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{5}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{5}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{5}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $5$ per $- 1$ .

$x \leq - 5$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 5]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = - x^{2} - 5$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$ è l'intervallo di $f (x) = - x^{2} - 5$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$ è il dominio di $f (x) = - x^{2} - 5$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$ è l'inverso di $f (x) = - x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x - 5}, - \sqrt{- x - 5}$

Passaggio 6