Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ come un'equazione.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{\frac{2}{3}} = x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = x$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ è l'inverso di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt{x^{3}}$

Passaggio 5.3.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{3} \geq 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 5.4.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ è l'intervallo di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ è il dominio di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ è l'inverso di $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6