Calcolo Esempi

$f (x) = (x^{3} + 2 x) e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3} + 2 x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{3} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + e^{x} \cdot 2$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 2 e^{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$e^{x} x^{3} + 2 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$