Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 6 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 6 x - 7$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

Passaggio 2.7

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

Passaggio 3.4

Espandi $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.5.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $2$ per $12$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $- 14$ per $2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica $2$ per $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $12$ per $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

Passaggio 3.5.10

Moltiplica $6$ per $- 14$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

Passaggio 3.6

Somma $24 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

Passaggio 3.7

Somma $- 28 x$ e $72 x$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$