Calcolo Esempi

$f (x) = {(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 8 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{4} - 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{4} - 8 x$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.2

Per scrivere $3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.3

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$