Calcolo Esempi

$f (t) = \sqrt[3]{t^{2} - 5} {(3 t - 5)}^{3}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t^{2} - 5}$ come ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ e $g (t) = {(3 t - 5)}^{3}$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [{(3 t - 5)}^{3}] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \cdot {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + 0) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot 3 + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ e $g (t) = t^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{3}$ e ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{{(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 10.3

Sposta ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Passaggio 10.4

$\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e ${(3 t - 5)}^{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 5])$

Passaggio 13

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)$

Passaggio 14.2

$2$ e $\frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} t$

Passaggio 14.3

$\frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e $t$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15

Per scrivere $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot \frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 16

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ e $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sposta ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{27 ({(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 20

Semplifica $27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{27 (t^{2} - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Scomponi ${(3 t - 5)}^{2}$ da $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1.1

Scomponi ${(3 t - 5)}^{2}$ da $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.1.2

Scomponi ${(3 t - 5)}^{2}$ da $2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.1.3

Scomponi ${(3 t - 5)}^{2}$ da ${(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.2

Moltiplica $27$ per $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (2 (3 t) + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.5

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t - 10) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t \cdot t - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.7

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.7.1

Sposta $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 (t \cdot t) - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.7.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t^{2} - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.8

Somma $27 t^{2}$ e $6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 135 - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.9

Riordina i termini.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 10 t - 135)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$