Calcolo Esempi

$f (t) = (5 t^{3} + t^{2}) (2 t - 4)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 5 t^{3} + t^{2}$ e $g (t) = 2 t - 4$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) \frac{d}{d t} [2 t - 4] + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 + \frac{d}{d t} [- 4]) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) (2 + 0) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$(5 t^{3} + t^{2}) \cdot 2 + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $5 t^{3} + t^{2}$ .

$2 \cdot (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) \frac{d}{d t} [5 t^{3} + t^{2}]$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{3} + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{3}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $5$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (15 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (5 t^{3} + t^{2}) + (2 t - 4) (15 t^{2} + 2 t)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + (2 t - 4) (15 t^{2} + 2 t)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + (2 t - 4) (15 t^{2}) + (2 t - 4) (2 t)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + (2 t - 4) (2 t)$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 t^{3}) + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 2 t (15 t^{2}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t \cdot t^{2} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 (t^{2} t) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

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Passaggio 3.5.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 (t^{2} t^{1}) - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{2 + 1} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 4 (15 t^{2}) + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $15$ per $- 4$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 2 t (2 t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t \cdot t - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.6

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 (t^{1} t) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.7

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 (t^{1} t^{1}) - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{1 + 1} - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{2} - 4 (2 t)$

Passaggio 3.5.10

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 60 t^{2} + 4 t^{2} - 8 t$

Passaggio 3.5.11

Somma $- 60 t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$10 t^{3} + 2 t^{2} + 30 t^{3} - 56 t^{2} - 8 t$

Passaggio 3.5.12

Somma $10 t^{3}$ e $30 t^{3}$ .

$40 t^{3} + 2 t^{2} - 56 t^{2} - 8 t$

Passaggio 3.5.13

Sottrai $56 t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$40 t^{3} - 54 t^{2} - 8 t$