Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ come ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 5}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 5

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Passaggio 7

Sottrai $6$ da $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

$5$ e $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Passaggio 8.2.2

$\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ e $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Passaggio 8.3

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc^{5} (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Passaggio 8.4

Frazioni separate.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Passaggio 8.5

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.6

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Passaggio 8.8

Scrivi $\sin (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Passaggio 8.9

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Passaggio 8.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Passaggio 8.10

$\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Passaggio 8.11

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc^{4} (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Passaggio 8.12

Frazioni separate.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Passaggio 8.13

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.14

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.15

Moltiplica $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

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Passaggio 8.15.1

$\cos (x)$ e $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Passaggio 8.15.2

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Passaggio 8.16

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Passaggio 8.17

Frazioni separate.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Passaggio 8.18

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 8.19

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.20

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.21

Frazioni separate.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.22

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.23

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.24

Semplifica.

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Passaggio 8.24.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.24.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.24.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.24.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 8.25

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.25.1

Sposta $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Passaggio 8.25.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 8.25.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Passaggio 8.25.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Passaggio 8.25.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.26

Frazioni separate.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.27

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.28

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.29

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.30

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{3} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.30.1

Sposta $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 8.30.2

Moltiplica $\sin^{3} (x)$ per $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.30.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Passaggio 8.30.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Passaggio 8.30.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.31

Dividi $5$ per $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$