Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$ come ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{- 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \sec (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.2.3

$\sec (x)$ e $\frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\sec (x) \cdot 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Passaggio 5.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Passaggio 5.2.5

$\tan (x)$ e $\frac{2 \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\tan (x) (2 \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$

Passaggio 5.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$- \frac{2 \tan (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$