Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} - 1$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 x^{3} + 3 \cdot 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Combina i termini opposti in $3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $3 x^{3} x^{2}$ da $3 x^{3} x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 0 - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $3 \cdot 1 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica.

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Passaggio 3.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Passaggio 3.6.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$