Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{2 x - 6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 4$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

$\frac{(2 x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(2 x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 6) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 6) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x - 6$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) (2 + 0)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - (x^{2} - 4) \cdot 2}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 6) x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 6) x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 6 x - 2 (x^{2} - 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 12 x + 8$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2$ da $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 8}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 4}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $2$ da $2 x - 6$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 (x) - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 x + 2 \cdot - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{{(2 (x - 3))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x - 3)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{4 {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $2$ da $4 {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2 (2 {(x - 3)}^{2})}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 4)}{2 (2 {(x - 3)}^{2})}$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} - 6 x + 4}{2 {(x - 3)}^{2}}$