Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x}}{9 x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riordina i fattori in $9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 x e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Scomponi $e^{x}$ da $9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $e^{x}$ da $9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 18 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x)$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.5

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$