Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{{(x + 4)}^{12}}{{(3 x - 9)}^{11}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x + 4)}^{12}$ e $g (x) = {(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{({(3 x - 9)}^{11})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x - 9)}^{11})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{11 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $11$ per $2$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{12}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $12$ alla sinistra di ${(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{12 \cdot {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 4.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + 0) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \cdot 1 - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{11}$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{11}] \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {u_{2}}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + 0))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \cdot 3)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.7.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} (3 \cdot {(3 x - 9)}^{10})}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 6.7.3

Moltiplica $3$ per $- 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ da $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ da $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ da $- 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.1.3

Scomponi $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ da $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $3$ da $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 {(3 (x) - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$\frac{3 {(3 x + 3 \cdot - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.2.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 {(3 (x - 3))}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.3

Applica la regola del prodotto a $3 (x - 3)$ .

$\frac{3 \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $3$ per $3^{10}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Moltiplica $3$ per $3^{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{1 + 10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $1$ e $10$ .

$\frac{3^{11} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $11$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x) + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.6.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.6.3

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 11 \cdot 4)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.6.5

Moltiplica $- 11$ per $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.7

Sottrai $11 x$ da $12 x$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 36 - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.1.8

Sottrai $44$ da $- 36$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.2

Riordina i termini.

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scomponi $3$ da $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x) - 9)}^{22}}$

Passaggio 7.3.1.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{22}}$

Passaggio 7.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x - 3))}^{22}}$

Passaggio 7.3.2

Applica la regola del prodotto a $3 (x - 3)$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{3^{22} {(x - 3)}^{22}}$

Passaggio 7.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $22$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $177147$ e $31381059609$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scomponi $177147$ da $177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

Passaggio 7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $177147$ da $31381059609 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

Passaggio 7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

Passaggio 7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 3)}^{10}$ e ${(x - 3)}^{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi ${(x - 3)}^{10}$ da ${(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

Passaggio 7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Scomponi ${(x - 3)}^{10}$ da $177147 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

Passaggio 7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

Passaggio 7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x + 4)}^{11} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{12}}$